SOLUCIONES PROBLEMAS DE PREPARACIÓN 2016



UNO DE ARITMÉTICA:
En las unidades tenemos que  X + Y + Z = Z, por lo que X + Y = 10
En las decenas tenemos que X + Y +Z = X, y como nos llevábamos 1 unidad de las unidades tendremos que Y + Z = 9
Además la cifra de las decenas de millar ha de ser 1, por lo que Y = 1.

Así pues, X = 9, Y = 1 y Z =8

UNO DE SUCESIONES:
 
En la fila 1 están los múltiplo de 8 menos 5 (o múltiplos de 8 más 3)
En la fila 2 están los múltiplo de 4 menos 2 (o múltiplos de 4 más 2)
En la fila 3 están los múltiplo de 4 menos 3 (o múltiplos de 4 más 1)
En la fila 4 están los múltiplo de 4
En la fila 5 están los múltiplo de 8 menos 1 (o múltiplos de 8 más 7)

El número 2009 al dividirlo entre 4 da 502 de cociente y 1 de resto, por lo que se encuentra en la fila 3. ¿Sabrías decir en qué posición?


UNO DE LÓGICA:
Como Colombia sólo mete un gol y gana a Túnez, tenemos:
1º) Colombia gana a Túnez   1-0
2º) Rumania gana a Colombia            X-0
3º) Inglaterra gana a Colombia           Y-0
Además como Túnez tiene 1 punto y 1 gol a favor
4º) Rumanía - Túnez es el único empate 0-0 o 1-1
5º) Rumanía gana a Inglaterra
6º) Inglaterra gana a Túnez

Supongamos que el Rumanía-Túnez queda 0-0, entonces el último partido de Túnez será:
7º) Inglaterra gana a Túnez 3-1
Y como a Inglaterra le meten sólo dos goles, entonces
            8º) Rumanía gana a Inglaterra         1-0
En los dos partidos que le quedan, Colombia pierde, no mete ningún gol y le meten 3, por lo que:
9º) Rumanía gana a Colombia            1-0 o 2-0
10º) Inglaterra gana a Colombia         1-0 o 2-0
No puede ser, porque a Rumanía le faltaría aún meter otro gol para llegar a los 4.

Supongamos que el Rumanía-Túnez queda 1-1, entonces el último partido de Túnez será:
7º) Inglaterra gana a Túnez 2-0
En los dos partidos que le quedan, Colombia pierde, no mete ningún gol y le meten 3, por lo que:
8º) Rumanía gana a Colombia            1-0 o 2-0
9º) Inglaterra gana a Colombia           1-0 o 2-0
Además a Rumanía le falta meter 3 goles y que le metan 1, y a Inglaterra meter 3 y recibir 2. meten sólo dos goles, entonces
            10º) Rumanía gana a Inglaterra       2-1
11º) Rumanía gana a Colombia        1-0
12º) Inglaterra gana a Colombia     2-0


EL PRIMERO DE GEOMETRÍA
 
Si F es el punto de tangencia del segmento DE con la circunferencia
DB = DF
EC = EF

AD + DF = AD + DB = AB = 20
AE + EF = AE+EC = AC = 20

El perímetro es 40.


EL SEGUNDO DE GEOMETRÍA

El segmento EO mide los dos tercios de la altura (porque O es el baricentro del triángulo).
Como el diámetro es paralelo a un lado del triángulo, entonces el triángulo ECD es semejante al inicial, siendo la razón de semejanza dos tercios.
Con lo cual el lado del triángulo ECD mide 8 cm, y su altura por Pitágoras mide raiz de 48, que coincide con el radio de la circunferencia. Entonces el segmento AC = OA - OC = (raíz de 48) -4

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